Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer

As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos.
Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.
Importante sabermos que:
sen x = sen (180º - x) Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-num-triangulo-qualquer.htm

Lei do Seno

Fórmula que representa a lei dos senos:

Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.

sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705

Exemplo 2

No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:

α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º

Aplicando a lei dos senos

Fonte da página: http://www.brasilescola.com/matematica/lei-dos-senos.htm

Lei do Cosseno

Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

Exemplo 1

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 2

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

Fonte da página: http://www.brasilescola.com/matematica/lei-coseno.htm