Cinemática Vetorial

O vetor é o ente matemático caracterizado pelo que há de comum ao conjunto dos segmentos. Relacionando as características dos vetores, temos: módulo, direção e sentido. Abaixo veremos como é feito uma operação matemática com os vetores.

Adição

Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.

Regra do triângulo

Regra do paralelogramo

Subtração

Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u – v , como sendo igual
à soma u + ( -v ) .


Veja a figura abaixo:

Multiplicação por um escalar

Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo do vetor l .u será igual a
|l |.u .

Produto interno de vetores

Dados dois vetores u e v , define-se o produto interno desses vetores como segue:

u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado entre eles.
b = 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u²

Da definição acima, infere-se imediatamente que:

a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.

b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso,

c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo.

d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.

e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.

Cálculo do produto interno em função das coordenadas do vetor

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j

Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v.

u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:

i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado.
w² = u² + 2.0 + v² , ou, finalmente: w² = u² + v² (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Daí, fazendo as substituições, vem:

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)

Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd

Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.

Veremos um exercício de aplicação, no final deste arquivo.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.

Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:

w² = u² + 2.u.v + v²

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w² = w² , u² = u² , v² = v² e u.v = 0 (lembre-se que os vetores u e vsão perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:

Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o  o teorema dos cossenos, ou seja : em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

Fonte da página: http://www.coladaweb.com/matematica/calculo-de-vetores-calculo-vetorial