Mudança de Base

Em vários cálculos de logaritmos ou operações envolvendo logaritmos é preciso transformar a base do logaritmo em outra, para facilitar as operações.

Para ocorrer essas transformações é preciso obedecer algumas regras e propriedades operatórias dos logaritmos.
Dado o logaritmo log_a x = y de base a, para transformar o mesmo logaritmo para a base b, o logaritmo ficará assim:log_b x = z.
Calculando o valor de cada logaritmo iremos encontrar duas equações exponenciais:
log_a x = y → x = a^y
log_b x = z → x = b^z 
Igualando as duas equações teremos:
a^y = b^z 
Assim, podemos montar o seguinte logaritmo:
z = log _b a^y → utilizando uma das propriedades operatórias dos logaritmos, temos:
z = y . log _b a → substituindo z por log _b x, temos:
log _b x = y . log _b a → substituindo y por log_a x, temos:
log _b x = loga x . log _b a → isolando o logaritmo de base a, temos:
loga x = log _b x               log _b a
Portanto, para transformar loga x em um logaritmo de base b é preciso seguir a seguinte regra:



Exemplo 1:
Para transformar log ₉ 45 em logaritmo na base 10 é preciso seguir a regra estabelecia acima.
Comparando log ₉ 45 com log a x, podemos dizer que a = 9 e x = 45 e b = 10 (que é a base que queremos transformar) substituindo na
fórmula log_a x = log _b x, teremos:                              log _b a
log ₉ 45 = log 45                    log 9
Portanto, log ₉ 45 na base 10 é log 45, para obter um valor numérico é preciso calcular                   log 9log 45 e log 9.


Exemplo 2:
Esse exemplo é o cálculo de um logaritmo que para ser efetuado será necessário transformar a sua base, veja:
Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,47 e log 5 = 0,69 (todos esses logaritmos estão na base 10), calcule o valor de log2 30.
Para encontrar o valor numérico de log₂ 30, devemos transformar a base 2 em base 10, pois o exercício ofereceu logaritmos de apoio todos de base 10.
log ₂ 30 = log 30 = log 5 . 3 . 2 = log 5 + log 3 + log 2 = 0,69 + 0,47 + 0,3 = 1,46 ≈ 4,86                    log 2           log 2                    log2                                 0,3                    0,3

Portanto, log ₂ 30 = 4,86.


Fonte da página: http://www.brasilescola.com/matematica/mudanca-bases.htm